Mit diesem Kirigami ist es möglich, einen Kreis in ein Quadrat zu verwandeln

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Kirigami bringt Pop-up-Bücher auf ein ganz neues Niveau. Beim japanischen Papierhandwerk werden Muster in Papier geschnitten, um ein zweidimensionales Blatt in eine komplizierte, dreidimensionale Struktur zu verwandeln, wenn es teilweise gefaltet wird. In den Händen eines Künstlers kann Kirigami bemerkenswert detaillierte und filigrane Nachbildungen von Strukturen in der Natur, Architektur und mehr hervorbringen.

Auch Wissenschaftler und Ingenieure haben sich von Kirigami inspirieren lassen und Prinzipien des Papierschneidens angewendet, um Robotergreifer, dehnbare Elektronik, Wassersammelblätter und andere formverändernde Materialien und Geräte zu entwerfen. In den meisten Fällen handelt es sich bei solchen Erfindungen um Produkte, die von Grund auf neu entwickelt wurden. Bisher gab es für Ingenieure keine Blaupause, um das Schnittmuster zu bestimmen, das ein Material von einer gewünschten Form in eine andere umwandelt.

Eine neue Studie in Nature Computational Science stellt eine allgemeine Rechenstrategie vor, die jede zweidimensionale, von Kirigami inspirierte Transformation lösen kann. Mithilfe der Methode lassen sich der Winkel und die Länge der durchzuführenden Schnitte bestimmen, so dass sich ein Blech von einer gewünschten Form in eine andere verwandeln kann, wenn es aufgezogen und wieder zusammengeschoben wird, wie ein kompliziertes, erweiterbares Gitter.

Mit ihrer neuen Methode entwarfen und fertigten die Forscher eine Reihe umwandelbarer zweidimensionaler Kirigami-Strukturen, darunter einen Kreis, der sich in ein Quadrat verwandelt, und ein Dreieck, das sich in ein Herz verwandelt.

„Die Leute haben von Quadrat und Kreis als einem der unmöglichen Probleme in der Mathematik gesprochen: Man kann das eine nicht in das andere umwandeln“, sagt Gary Choi, Postdoktorand und Dozent für angewandte Mathematik am MIT. „Aber mit Kirigami können wir tatsächlich eine quadratische Form in eine Kreisform verwandeln.“

Für Ingenieure könnte die neue Methode zur Lösung verschiedener Designprobleme eingesetzt werden, beispielsweise wie ein Roboter so konstruiert werden kann, dass er sich von einer Form in eine andere verwandelt, um eine bestimmte Aufgabe auszuführen oder durch bestimmte Räume zu navigieren. Es besteht auch Potenzial für die Gestaltung aktiver Materialien, beispielsweise als intelligente Abdeckungen für Gebäude und Wohnungen.

„Eine der ersten Anwendungen, an die wir dachten, war der Bau von Fassaden“, sagt Kaitlyn Becker, Assistenzprofessorin für Maschinenbau am MIT. „Dies könnte uns helfen, große, Kirigami-ähnliche Fassaden zu schaffen, die ihre Form ändern können, um Sonnenlicht und ultraviolette Strahlung zu kontrollieren und sich an ihre Umgebung anzupassen.“

Becker und Choi sind Co-Autoren der neuen Studie, zusammen mit Levi Dudte, einem quantitativen Forscher bei Optiver, und L. Mahadevan, einem Professor an der Harvard University.

Der Platz zwischen

Die Studie entstand aus der früheren Arbeit des Teams sowohl im Kirigami als auch im Origami – der japanischen Kunst des Papierfaltens.

„Wir haben festgestellt, dass es bei Kirigami und Origami viele mathematische Zusammenhänge gibt“, sagt Choi. „Deshalb wollten wir eine mathematische Formel entwickeln, die Menschen dabei helfen kann, eine große Vielfalt an Mustern zu entwerfen.“

Im Jahr 2019 entwickelte das Team einen Optimierungsansatz für Kirigami, um das Schnittmuster zu finden, das erforderlich wäre, um eine Form in eine andere umzuwandeln. Choi sagt jedoch, dass der Ansatz zu rechenintensiv war und es viel Zeit in Anspruch nahm, ein optimales Muster für eine bestimmte Transformation abzuleiten.

Im Jahr 2021 gingen die Forscher ein ähnliches Problem bei Origami an und stellten fest, dass sie aus einer etwas anderen Perspektive eine effizientere Strategie ableiten konnten. Anstatt ein Muster aus einzelnen Falten zu entwerfen (ähnlich den einzelnen Schnitten von Kirigami), konzentrierte sich das Team darauf, ein Muster aus einem einfachen gefalteten Samen zu entwickeln. Indem sie Panel für Panel arbeiteten und Beziehungen zwischen Panels herstellten, beispielsweise wie sich ein Panel bewegen würde, wenn ein benachbartes Panel gefaltet würde, konnten sie einen relativ effizienten Algorithmus für die Planung des Designs jeder Origami-Struktur ableiten.

Das Team fragte sich, ob ein ähnlicher Ansatz auf Kirigami angewendet werden könnte. Sobald beim traditionellen Kirigami Schnitte in ein Blatt Papier gemacht wurden, kann das Blatt teilweise gefaltet werden, sodass die entstehenden Leerräume eine dreidimensionale Struktur erzeugen. Könnten die Leerräume zwischen den Schnitten und ihre Beziehung zueinander wie die Bahnen zwischen den Origami-Falten eine effizientere Formel für das Kirigami-Design ergeben? Diese Frage motivierte die neue Studie des Teams.

Mathe-Links

Die Studie konzentriert sich auf zweidimensionale Kirigami-Transformationen. Die Forscher betrachteten ein allgemeines Kirigami-Design, das aus einem Mosaik aus miteinander verbundenen viereckigen Fliesen bestand, die jeweils in verschiedenen Winkeln und Größen geschnitten waren. Das konzeptionelle Mosaik beginnt als eine Form und kann auseinandergezogen und wieder zusammengeschoben werden, um eine völlig neue Form zu bilden. Die Herausforderung bestand darin, zu beschreiben, wie sich eine Form in eine andere verwandeln kann, basierend auf den Leerräumen zwischen den Fliesen und wie sich die Räume verändern, wenn die Fliesen auseinandergezogen und wieder zusammengeschoben werden.

„Wenn die Fliesen selbst fest und unveränderlich sind, dann sind es die Leerräume dazwischen, die eine Möglichkeit für Bewegung bieten“, sagt Becker.

Das Team betrachtete zunächst die einfachste Darstellung des leeren Raums in Form einer Raute oder einer sogenannten „Viergelenkverbindung“. Jede Seite der Raute stellt einen Balken oder die Kante einer massiven Fliese dar. Jede Ecke der Raute stellt eine Verbindung oder ein Scharnier dar, das die Fliesen verbindet. Durch Ändern der Länge und des Winkels der Kanten der Raute konnte das Team untersuchen, wie sich der leere Raum dazwischen verändert.

Durch die Untersuchung immer größerer Anordnungen von Viergelenkverbindungen identifizierte das Team Beziehungen zwischen dem Winkel und der Länge der Stangen, der Form einzelner Leerräume und der Form der gesamten Anordnung. Sie verarbeiteten diese Beziehungen zu einer allgemeinen Formel und stellten fest, dass sich damit das Schnittmuster – einschließlich Winkel und Länge – effizient identifizieren ließe, das erforderlich wäre, um ein zweidimensionales Blatt von einer gewünschten Form in eine andere umzuwandeln.

„Ohne ein Tool wie dieses könnte ich dieses Problem vielleicht in Matlab brutal erzwingen oder raten und überprüfen, aber es würde sehr lange dauern, bis ich etwas bekomme, das sich von einem Kreis in ein Quadrat umwandeln kann“, sagt Becker.

In Simulationen stellte das Team fest, dass die Formel tatsächlich ein Fliesenmuster finden konnte, das ein kreisförmiges Mosaik in ein Quadrat verwandeln würde, sowie praktisch jede Form in jede andere gewünschte Form.

Das Team ging noch einen Schritt weiter und entwickelte zwei Herstellungsmethoden, um die Entwürfe der Formel physisch umzusetzen. Sie erkannten schnell, dass die größte Herausforderung bei der Herstellung der wandelbaren Mosaike darin bestand, das richtige Material für die Verbindungsscharniere der Fliesen zu finden. Die Verbindungen mussten stark und dennoch leicht biegbar sein.

„Ich dachte, was ist sehr zugfest und reißfest, kann aber einen Biegeradius von Null haben, fast wie ein Punktscharnier?“ sagt Becker. „Und die Antwort ist, wie sich herausstellt, Stoff.“

Das Team nutzte zwei Methoden – 3D-Druck und Formguss –, um kleine Stoffstreifen so in viereckige Kunststofffliesen einzubetten, dass die Fliesen eng miteinander verbunden wurden und sie sich gleichzeitig gegeneinander biegen konnten. Mit diesen beiden Methoden stellte das Team kreisförmige Mosaike her, die sich in Quadrate verwandelten, sowie einfache Dreiecksmosaike, die sich in komplexere Herzformen verwandelten.

„Wir können grundsätzlich jede zweidimensionale Form annehmen“, sagt Choi. „Das ist mit unserer mathematischen Formel garantiert. Jetzt wollen wir dies auf 3D-Kirigami ausweiten.“

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